0. References

如果让你重新开始学数学，你的学习路线会怎么选择? - 阿菊的回答 - 知乎

1. Calculus

1.1 Plan

Reference Books:

  1. Thomas’ CALCULUS
  2. Calculus Lifesaver

Courses:

  1. MIT OCW 18.01

2. Linear Algebra

2.1 Plan

Reference Books:

  1. Introduction to Linear Algebra, Gilbert Strang

Courses:

  1. MIT 18.06

3. Probability & Statistics

3.1 Plan

Reference Books:

  1. All of Statistics，Larry Wasserman

4. Statistics

5. Numerical Analysis

5.1 拉格朗日插值

Lagrange

Advantage

Disadvantage

5.2 Newton 插值

引入均差的概念

6. Stochastic Processes

3.1 Syllabus

What’s the difference between the Stochastic Processes and the Probability ?

Stochastic Processes primarily study a family of infinitely many interrelated random variables.

教材:

  • 《随机过程(第二版)》张卓奎 陈慧婵; 西安电子科技大学出版社

  • 《随机过程同步学习指导》张卓奎 陈慧婵; 西安电子科技大学出版社

Reference:

  1. 《随机过程》毛用才胡奇英西安电子科技大学出版社
  2. 《随机过程理论》周荫清电子工业出版社第二版
  3. Stochastic Processes Theory for Applications, R. G. Gallager, Cambridge University Press
  4. Probability and Random Processes, G. R. Grimmett and D. R. Stirzaker, Oxford University Press

3.2 Foundations of Probability Theory

  • 概率空间
  • 随机变量及其分布
  • 随机变量的数字特征
  • 随机变量的特征函数
  • n维正态随机变量
  • 条件数学期望
  • 随机变量序列的收敛性

3.2.1 随机变量

现象:

  • 确定性现象;
  • 随机现象: 在一定的条件下,并不总出现相同结果的现象 (手性分子)
    • Feature 1: 结果不止一个
    • Feature 2: 事先不知道出现哪一个
    • 统计规律: 符合统计规律
  • 随机试验: 在相同条件下可以重复的随机现象
    • 随机性
    • 可重复性
    • 可观察性
    • 有些随机现象是不能重复的, 比如某场足球比赛的结果

3.2.2 样本空间

  • 样本点 (\(\omega\)): 随机试验的每一个可能的结果
  • 样本空间 (\(\Omega\)): \(\Omega=\{\omega\}\) , 是样本点构成的集合
    • e.g. Lifespan of a Television: \(\Omega = \{t, t>= 0\}\)
  • 离散样本空间: 样本点连续, 克列
  • 连续样本空间: 样本点连续不可列个

3.3.3 随机事件

  • 随机事件: 某些样本点组成的集合, 是\(\Omega\)的子集, 用 \(A,B,C\) 表示
  • 基本事件: \(\Omega\) 的单点集
  • 必然事件: \(\Omega\)
  • 不可能事件: \(\Phi\)
  • e.g. 掷1次骰子:
    • 基本事件
    • 随机事件: \(A = \{2, 4, 6\}\)
    • 必然事件: \(A \leq 6\)
    • 不可能事件: \(A > 6\)

3.3.4 随机变量

  • 随机变量: 表示随机现象结果的变量, annotated as \(X,Y,Z\)

3.3.5 事件间的关系

  • 包含: \(A \subset B\)
  • 相等: \(A = B \leftrightarrow A \subset B \ \& \ B \subset A\)
  • 互斥

3.3.6 事件运算

  • 并: \(A \cup B\)
  • 交: \(A \cap B\)
  • 差: \(A - B\)
  • 对立: \(\overline A\)
  • 交换律
  • 结合律
  • 分配律
  • 对偶率

3.3.7 事件域

3.3 Basic Concepts of Stochastic Processes

3.3.1 Definition of Stochastic Processes

A stochastic process is a family of random variables indexed by time.

  • Let \((\Omega,F,P)\) be a probability space and \(T\) an index set.

    • \(\Omega\): Sample Space
    • \(F\): Set of event. \(F\) is a subset of \(\Omega\).
    • \(P\): A function defined on sample space \(\Omega\).
    • \(T\): A parameter set. \(T\) is a subset of \(R\).

    A stochastic process is a collection of random variables \(\{X_t: t \in T\}\) defined on \((\Omega,F,P)\), where each \(X_t\) takes values in a state space \(S\).

  • From the view of mathematics, \(\{X_{(\omega,t)}: t \in T\}\) is a function defined on \(\Omega \times T\).

    • $$ is a sample point
    • $tT $ is a parameter.

3.3.2 The family of finite-dimensional distribution functions of a stochastic process

有限维分布函数族能够描述随机过程的统计特性